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2019年第四节可降阶的高阶微分方程.ppt

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第四节 可降阶的高阶微分方程 一、y(n)=f(x)型的微分方程 二、y'' ? f (x, y')型的微分方程 一、y(n)=f(x)型的微分方程 方程 y(n) ? f (x) (1) 可改写为 d ( y(n?1) ) ? f (x) 或 d( y(n?1) ) ? f (x)dx, dx 两端积分一次,即得 y(n?1) ? ? f (x)dx ? C1, 再积分一次,得 y(n?2) ? ? ?? f (x)dx ? C1?? C2, 依次积分n次,得方程(1)的含有n个任意常数的 通解. 例1 求微分方程y''' ? 2x ? sin x的通解. 解 对所给方程依次积分三次,得 ? y'' ? (2x ? sin x)dx ? x2 ? cos x ? C1, ? y' ? (x2 ? cos x ? C1)dx ? 1 3 x3 ? sin x ? C1x ? C2, ? y ? ? ?? 1 3 x3 ? sin x ? C1 x ? C2 ? ?? dx ? C3 ? 1 12 x4 ? cos x ? C1 2 x2 ? C2 x ? C3, 记 C'1 2 ? C1, 即得 y ? 1 12 x4 ? cos x ? C1x2 ? C2x ? C3, 其中C1, C2, C3为任意常数. 二、y'' ? f (x, y')型的微分方程 微分方程 y'' ? f (x, y') (2) 通过变量代换 y' ? p, 则y'' ? dp ? p'. dx 代入方程(2),得 dp ? f (x, p), dx 这是关于变量x和p的一阶微分方程,若能求出其 通解,设为 p ? ?(x,C1) ,即有 dy dx ? ? (x, C1 ) 或 dy ? ?(x,C1)dx, 两端积分,得方程(2)的通解 y ? ??(x,C1)dx ? C2. 其中C1, C2为任意常数. 例2 求微分方程y'' ? 1 y' ? xe?x的通解. x 解 设y' ? p,则y'' ? dp,代入原方程,得 dx dp ? 1 p ? xe?x, dx x 这是一阶线性非齐次方程,利用通解公式,可得 ? p ? e? ? ? ?? ? 1 x ???dx ? ? xe? x ? e? ? ?? ? 1 x ???dxdx ? C1 ? ? ?? ?? ? ? eln x ? ? xe? x ? e ? ln xdx ? C1 ? ? ?? ? ? x e?xdx ? C1 ? x(?e?x ? C1), 于是有 dy dx ? x(?e? x ? C1), 再积分一次,得原方程的通解为 ? y ? x(?e?x ? C1)dx ?? (?xe?x ? C1x)dx ? (x ? 1)e? x ? C1 2 x2 ? C2 ? (x ?1)e?x ? C1x2 ? C2 (C1 ? C1 2 ). 例3 求微分方程y'' ? 1 2 ? x x 2 y'满足初值条件: y x?0 ? 1, y' x?0 ? 3的特解. 解 设y' ? p,则y'' ? dp,代入原方程得 dx dp dx ? 1 2 ? x x 2 p. 这是可分离变量的一阶微分方程,分离变量得 dp p ? 1 2x ? x2 dx, 两端积分得 ln p ? ln(1? x2 ) ? ln C1, 化简得 即 p ? C1(1? x2 ), y' ? C1(1? x2 ). 以y' x?0 ? p x?0 ? 3代入上式,得 C1 ? 3, ? y'? 3(1 ? x2 ). 这是一阶微分方程,积分一次,得 y ? 3? (1? x2)dx ? 3x ? x3 ? C2, 再以y x?0 ? 1代入,得 C2 ? 1. 所求特解为 y ? x3 ? 3x ? 1. 例4 设火车以30m/s(相当于108km/h)的速度在*直的轨 道上行驶(假设不计空气阻力和摩擦力).当火车制动(刹 车)时获得加速度-2.6m/s2,问开始制动经多长时间才能 停住?在这段时间内火车行驶了多少路程? 解 设火车开始制动时t=0,经t s行驶了s m,其运动方程 d2s dt2 ? ?0.6 (3) 初始条件 s |t?0 ? 0,v |t?0 ? 30. (4) 对方程(3)两边积分一次,得 v ? ds dt ? ?0.6t ? C1 (5) 再积分一次,得方程(3)的通解为 s ? ?0.3t2 ? C1t+C2 (6) 将初值条件(4),得 C1=30, C2=0 于是 v= ? 0.6t ? 30 (7) s ? ?0.3t2 ? 30t (8) 由于火车停住时v=0,得到 t ? 30 ? 50(s) 0.6 火车制动后行驶的 路程为 s ? (?0.3t2 ? 30t) |t?50 ? 750(m).



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